题目描述:
设n为正整数,求证(3的n次方+3的(n+2)次方+6的2n次方)能被33整除.答案解析
【答案】(3的n次方+3的(n+2)次方+6的2n次方)=3^N+3^(N+2)+6^2N用假设法
假设N=1
3^N+3^(N+2)+6^2N=3+3^3+6^2=3+27+36=66,能被33整除,故假设成立.
假设N=K的时候,3^K+3^(K+2)+6^(2K)被33整除成立,则当N=K+1的时候.
3^N+3^(N+2)+6^2N
=3^(K+1)+3^(K+1+2)+6^2(K+1)
=3×(3^K)+3×[3^(K+2)]+6^2×6^(2K)
=3×[3^K+3^(K+2)+6^(2K)]+6^2×6^(2K)-3×6^(2K)
=3×[3^K+3^(K+2)+6^(2K)]+33×6^(2K)
由于3^K+3^(K+2)+6^(2K)和33×6^(2K)都能被33整除,故假设成立. 【其他答案】
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