题目描述:
设有任意两个n维向量组α1,…,αm和β1,…,βm,若存在两组不全为的数λ1,…,λm和k1,…,km,使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1-k1)β1+…+(λm-km)βm=0,则( )A. α1,…,αm和β1,…,βm都线性相关
B. α1,…,αm和β1,…,βm都线性无关
C. α1+β1,…,αm+βm,α1-β1,…,αm-βm线性无关
D. α1+β1,…,αm+βm,α1-β1,…,αm-βm线性相关
答案解析
【答案】因为:
若存在两组不全为的数λ1,…,λm和k1,…,km,使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1-k1)β1+…+(λm-km)βm=0,
整理得:λ1(α1+β1)+…+λm(αm+βm)+k1(α1-β1)+…+km(αm-βm)=0.
因为 λ1,…,λm,k1,…,km 不全为零,
所以:α1+β1,…,αm+βm,α1-β1,…,αm-βm 线性相关,故选项D正确.
事实上,剩余几个选项都是错误的.
取m=2,下面举出反例来说明A、B均为错误的,
对于选项A:
取β1,β2线性无关,α1,αm线性相关,且满足α2=-α1.
若取λ1=k1=λ2=k2=1,
则:(λ1+k1)α1+(λ2+k2)α2+(λ1-k1)β1+(λ1-k1)βm =2α1+2α2+0+0=0,
但β1,β2线性无关,故选项A错误.
对于选项B:
取β1,β2线性无关,α1,αm线性相关,且满足α2=-α1.
若取λ1=k1=λ2=k2=1,
则:(λ1+k1)α1+(λ2+k2)α2+(λ1-k1)β1+(λ1-k1)βm =2α1+2α2+0+0=0,
但α1,α2线性相关,故选项B错误.
下面,利用反正法叙述C是错误的.
倘若选项C正确,
即:α1+β1,…,αm+βm,α1-β1,…,αm-βm线性无关,
则对应任意常数k1,…,k2m,如果:
k1(α1+β1)+…+km(αm+βm)+km+1(α1-β1)+…k2m(αm-βm)=0,
则有:k1=…=k2m=0,
而又由已知条件:(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1-k1)β1+…+(λm-km)βm=0,
化简得:λ1(α1+β1)+…+λm(αm+βm)+k1(α1-β1)+…+km(αm-βm)=0.
故应该有:λ1=…=λm=k1=…km=0,
这与λ1,…,λm和k1,…,km不全为0矛盾,
故假设不成立,选项C错误.
故选:D. 【其他答案】
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